Xin chao ChatGPT!
Xin chào! Tôi có thể giúp gì cho bạn?
ChatGPT hãy làm bài Toan: "Cho hàm số y = (x + 1)/(3 - x) có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Tìm các số thực m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N tạo thành tam giác MNI có trọng tâm nằm trên (C)"
Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị (C)
- Ta có: y = (x + 1)/(3 - x)
- Khi x tiến tới 3, ta có y tiến tới vô cùng dương, do đó đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị (C).
- Khi x tiến tới âm vô cùng, ta có y tiến tới vô cùng âm, do đó đường y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị (C).
Bước 2: Tìm giao điểm I của hai tiệm cận trên
- Đường thẳng x = 3 và y = 0 cắt nhau tại điểm (3, 0), do đó I(3, 0).
Bước 3: Tìm phương trình đường thẳng d: y = x + m
Bước 4: Tìm tọa độ điểm M, N và trọng tâm G của tam giác MNI
- Điểm M: Ta giải phương trình hệ thức y = x + m và y = (x + 1)/(3 - x) để tìm tọa độ M. Ta có phương trình sau: x^2 + (m - 3)x + (m + 1) = 0. Để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt, ta cần có delta > 0, do đó ta có: (m - 3)^2 - 4(m + 1) > 0. Từ đó suy ra: m > -3/5 hoặc m < -1.
- Điểm N: Từ phương trình đường thẳng d: y = x + m, ta dễ dàng tìm được tọa độ N là N(-m/(m+1), m^2/(m+1)).
- Trọng tâm G của tam giác MNI nằm trên đường thẳng d, ta có: G((-m + 3)/(2m + 2), (m^2 - m + 1)/(2m + 2)).
Bước 5: Kiểm tra điều kiện trọng tâm G nằm trên đồ thị (C)
- Để trọng tâm G nằm trên đồ thị (C), ta cần có G là điểm trung điểm của đoạn thẳng MN. Tức là: G là điểm có trung điểm với đoạn thẳng MN là I(3, 0).
- Giải hệ phương trình: (Gx + Nx)/2 = 3 và (Gy + Ny)/2 = 0 để tìm m.
- Sau khi giải hệ phương trình trên, ta sẽ tìm được m = -1/2 và m = 2 là
Khi m = -1/2: Ta thay m = -1/2 vào phương trình đường thẳng d: y = x + m, ta có phương trình đường thẳng d là: y = x - 1/2. Tiếp theo, ta giải phương trình hệ thức y = x - 1/2 và y = (x + 1)/(3 - x) để tìm tọa độ M. Ta có phương trình sau: 2x^2 - 5x - 1 = 0. Giải phương trình này ta tìm được hai nghiệm x1 và x2. Sau đó, tọa độ M sẽ là (x1, x1 - 1/2) và (x2, x2 - 1/2).
Khi m = 2: Tương tự, ta thay m = 2 vào phương trình đường thẳng d: y = x + m, ta có phương trình đường thẳng d là: y = x + 2. Tiếp theo, ta giải phương trình hệ thức y = x + 2 và y = (x + 1)/(3 - x) để tìm tọa độ M. Ta có phương trình sau: 2x^2 + x - 5 = 0. Giải phương trình này ta tìm được hai nghiệm x1 và x2. Sau đó, tọa độ M sẽ là (x1, x1 + 2) và (x2, x2 + 2).
Sau khi tìm được các tọa độ M, N và trọng tâm G của tam giác MNI, ta tính khoảng cách từ trọng tâm G đến đường thẳng x = 3 (tiệm cận đứng của đồ thị (C)). Để G nằm trên đồ thị (C), khoảng cách từ G đến đường thẳng x = 3 phải bằng khoảng cách từ G đến đường thẳng y = 0 (tiệm cận ngang của đồ thị (C)). Nếu hai khoảng cách này bằng nhau, ta có thể kết luận rằng trọng tâm G nằm trên đồ thị (C).
Ta có tập hợp M gồm các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một được lập từ tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Số lượng phần tử của tập X là 6.
Để tính xác suất có ít nhất một trong hai phần tử chia hết cho 3, ta sẽ tính xác suất phần ngược, tức là cả hai phần tử đều không chia hết cho 3.
Có tổng cộng C(6, 5) số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một được lập từ tập X. Chúng ta sẽ tìm số lượng số trong tập M chia hết cho 3.
Để chia hết cho 3, tổng các chữ số trong số đó phải chia hết cho 3. Ta có thể chọn 3 chữ số từ tập X sao cho tổng của chúng chia hết cho 3 (ví dụ: 0 + 1 + 2 = 3 + 4 + 5 = 3). Số lượng cách chọn 3 chữ số chia hết cho 3 là C(6, 3). Với mỗi cách chọn 3 chữ số, ta có thể sắp xếp chúng theo 5 cách khác nhau để tạo ra một số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một. Do đó, số lượng số trong tập M chia hết cho 3 là 5 * C(6, 3).
Xác suất để mỗi phần tử không chia hết cho 3 là 3/4 (vì trong tập X có 4 số không chia hết cho 3, nên trong tập M chỉ có 4 chữ số cuối cùng có thể không chia hết cho 3).
Do đó, xác suất để cả hai phần tử không chia hết cho 3 là (3/4) * (3/4) = 9/16.
Vậy, xác suất để có ít nhất một trong hai phần tử chia hết cho 3 là 1 - 9/16 = 7/16.
Đặt đáy hình bình hành S.ABCD có độ dài cạnh bằng a, độ dài đường cao k và độ dài đường chéo d. Ta có:
V = 1/3 * Sđáy * h = 1/3 * a * k * a = a^2 * k / 3
Chú ý rằng hình chóp S.ABCD có hai mặt bằng nhau là ABC và SCD, nên SP song song với đáy SCD và PC song song với AB. Do đó, MP và NP chia AB thành ba đoạn bằng nhau và chia SD thành hai đoạn bằng nhau. Ta cũng có PN = SM, AM = MB và PN = MA. Khi đó, ta có thể chứng minh được tứ giác AMPN là hình bình hành.
Đặt h = PM là độ cao của khối chóp AMPN. Ta cũng có:
V1 = 1/3 * Sđáy * h = 1/3 * a * PN * h = a^2 * h / 9
Do tứ giác AMPN là hình bình hành nên góc MAN = góc MPN, góc PAM = góc NPB, AM = MB = NP = PN / 3. Vì vậy, ta có thể sử dụng định lý Pythagoras cho tam giác APN và tam giác PAM để tính độ dài PA và PN:
PA^2 = AM^2 + PM^2 = (PN/3)^2 + h^2 PN^2 = PB^2 + BN^2 = (2a/3)^2 + k^2
Do đó:
V = 1/3 * Sđáy * h = 1/3 * a * PN * h = a * h * sqrt((4a^2 + 9k^2)/9) / 3
Và:
V1 = 1/3 * Sđáy * h = 1/3 * a * PN * h = a * h * sqrt((4a^2 + k^2)/9) / 9
Từ đó, ta tính được:
V1/V = (4a^2 + k^2) / (4a^2 + 9k^2)
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của V1/V. Ta có thể sử dụng đạo hàm để tìm điểm cực trị:
d/dk (V1/V) = (18k(4a^2 - k^2)) / (4a^2 + 9k^2)^2
Điểm cực trị xảy ra khi 18k(4a^2 - k^2) = 0, tức khi k = 0 hoặc k = 2a. Do đó, giá trị nhỏ nhất của V1/V xảy ra khi k = 0 hoặc k = 2a.
Nếu k = 0, ta có V = a^2 * k / 3 = 0, nên không thể tính được V1/V.
Nếu k = 2a, ta có S.ABCD là hình vuông và AP song song với đường chéo BD. Khi đó, ta có PN = MA = a/2, PM = a/2, PA = BD/2 = a*sqrt(2)/2. Từ đó, ta tính được:
V = a^3 * sqrt(2) / 3
V1 = a^3 / 24
V1/V = 1 / (8*sqrt(2)) ≈ 0.176
Do đó, giá trị nhỏ nhất của V1/V là 1 / (8*sqrt(2)) ≈ 0.176, đạt được khi hình chóp S.ABCD là hình vuông và AP song song với đường chéo BD.
